KRITERIA PERFORMANSI

7.1 Spesifikasi Performansi.

            Sistem kendali dirancang untuk menyelesaikan suatu pekerjaan tertentu. Biasanya spesifikasi performansi tidak boleh lebih tinggi dari yang dibutuhkan untuk melakukan suatu pekerjaan yang diinginkan. Jika ketelitian pada operasi keadaan mantap dari sistem kendali yang diinginkan menempati urutan yang pertama, maka kita tidak boleh menginginkan spesifikasi performansi yang tinggi tetapi tidak begitu diperlukan pada respon transien, karena spesifikasi tersebut akan memerlukan komponen yang mahal.

            Syarat-syarat yang harus dipenuhi sistem kendali umumnya disebut dengan spesifikasi performansi. Hal tersebut berkaitan dengan kestabilan, ketelitian, kepekaan, kesalahan keadaan mantap dan spesifikasi respon transien.

Performansi sistem kendali loop tertutup seharusnya memenuhi kriteria/spesikasi performansi, di antaranya adalah:

·    stabilitas (kestabilan)

·    sensitivitas (kepekaan)

·    akurasi (ketelitian)

·    transient response (tanggapan peralihan)

 

7.2 Stabilitas/kestabilan

Sistem loop tertutup seharusnya stabil bahkan ketika sistem diberikan sinyal perintah,  diberikan input tambahan di berbagai tempat dalam loop, diberikan power supply yang bervariasi, dan adanya perubahan parameter-parameter dalam loop umpan balik

 

Sistem tidak stabil

Sebuah sistem dikatakan tidak stabil jika responnya terhadap suatu masukan menghasilkan osilasi yang keras atau bergetar pada suatu amplitudo/ harga tertentu.

 

Sistem stabil

Sebuah sistem dikatakan stabil jika sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam/ berhenti kecuali jika dirangsang oleh suatu fungsi masukan, dan akan kembali dalam keadaan diam jika rangsangan tersebut dihilangkan. Ketidakstabilan merupakan hal yang tidak menguntungkan bagi suatu sistem loop tertutup, sedangkan pada sistem loop terbuka sistem harus stabil.

Masukan sistem tidak mempengaruhi kestabilan suatu sistem, sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu masukan maka dia akan stabil untuk masukan yang ada, sebaliknya stabilitas hanya bergantung pada karakteristik sistem itu sendiri.

Respon suatu sistem yang stabil dapat dikenali dari adanya peralihan yang menurun menuju nol terhadap pertambahan waktu, sehingga sistem yang stabil koefisien suku eksponensial yang terdapat dalam respon transiennya harus merupakan bilangan-bilangan nyata yang negatif atau bilangan kompleks dimana bagian nyatanya harus negatif.

Suatu respon yang berosilasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial dapat dilihat dalam Gambar 7.1. Respon sistem tersebut merupakan respon sistem yang stabil, yang merupakan respon peralihan sistem.

            Gambar 7.1 Respon Peralihan Sistem Stabil.

 

Pendekatan untuk menentukan kestabilan sistem yaitu setelah mengubah persamaan sistem ke dalam fungsi s melalui Transformasi Laplace. Kestabilan tersebut didapatkan diantaranya adalah dengan menggunakan persamaan karakteristik, menggunakan kriteria Routh -  Hurwitz, analisis tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik (root locus), atau dengan menggunakan kriteria Nyquist.

 

7.2.1 Persamaan Karakteristik

Stabilitas sistem umpan balik secara umum didapat dari fungsi alih sistem, dimana fungsi alih sistem secara umum adalah

dimana R(s) merupakan masukan sistem, C(s) merupakan keluaran sistem, G(s) merupakan penguatan sistem, dan H(s) merupakan umpan balik sistem seperti terlihat dalam Gambar 7.2. Dengan membuat penyebut fungsi alih sistem yaitu 1 + G(s)H(s) = 0, yang merupakan persamaan karakteristik sistem dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem.

 

Gambar 7.2 Diagram Balok Sistem dengan Jalur Maju G(s) dan Umpan Balik H(s).

 

Sehingga:

 

-r1, -r2                                                merupakan akar-akar persamaan karakteristik.

Sistem tersebut akan stabil jika semua bagian nyata akar-akar tersebut negatif

 

Soal 1 :

Tentukan apakah sistem merupakan sistem yang stabil/tidak pada sistem di bawah ini

1.         Jika loop tertutup dengan

persamaan karakteristiknya :

akar-akarnya : r1= -2, r2 = -1

Syarat sistem stabil adalah bagian nyata akar-akar persamaan karakteristiknya harus negatif.

Karena r1 dan r2 negatif maka sistem tersebut merupakan sistem yang stabil.

2.         Jika loop tertutup dengan

persamaan karakteristiknya :

Akar-akarnya adalah r1,= -160; r2 = 5 + j 81; r3 = 5 -j 81

Karena r2 dan r3 bagian nyatanya positif maka sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

 

7.2.2 Kriteria Routh -  Hurwitz

Bentuk umum persamaan karakteristik :

Koefisien persamaannya disusun dalam 2 baris

Semua koefisien diasumsikan bernilai real dan positif. Penambahan baris-baris koefisien selanjutnya adalah sebagai berikut :

dimana:

Pada kriteria kestabilan dengan menggunakan Routh Hurwitz, baris pertama tabulasi adalah sm dan baris terakhirnya adalah s0. Jumlah baris adalah sebanyak m +1 (dimana m adalah orde persamaan karakteristik)

 

Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah sebagai berikut

ü  Dengan memeriksa apakah semua bagian pada kolom paling kiri (B1, B2, U1, U2, V1, V2, ...) mempunyai tanda yang sama , hal ini menandakan tidak ada akar pada bidang s sebelah kanan sehingga sistem merupakan sistem yang stabil.

ü  Jika ada perubahan tanda sebanyak x, maka akan terdapat akar sebanyak x pada bidang s sebelah kanan

 

Misalnya diketahui suatu persamaan karakteristik

1 + G(s) H(s) = s3 + 4s2 + 100s + 500 = 0

baris yang dihasilkan dari persamaan karakteristik adalah baris pertama dan kedua, baris selanjutnya didapatkan dari kedua baris tersebut dengan aturan yang telah ada.

 

Ada 2 perubahan tanda pada kolom pertama, yaitu 4 ke -25 dan -25 ke 500 sehingga ada 2 akar pada bidang s sebelah kanan, maka sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

 

Ada beberapa kemungkinan yang terjadi pada tabulasi tersebut, yaitu:

1) Jika pada suatu baris (sebelum s0), kolom paling kiri berharga 0 sedangkan kolom yang lain tidak berharga 0, maka kolom paling kiri yang berharga 0 digantikan konstanta positif yang cukup kecil (ε)

Misalnya diketahui persamaan karakteristik sistem adalah 

1 + G(s) H(s) = s5 + s4 + 4s3 + 4s2 + 2s + 1 = 0

baris yang dihasilkan :

Nilai  pada kolom paling kiri, baris ke 4 berharga negatif,

nilai  pada kolom paling kiri, baris ke 5 berharga positif,

sehingga ada 2 perubahan tanda yang berarti ada 2 buah akar yang terletak pada bidang s sebelah kanan, sehingga sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

 

2) Jika pada suatu baris sebelum s0, semua kolomnya berharga 0, menunjukkan sepasang akar konjugate pada sumbu imaginer.

Untuk hal seperti ini, baris dapat dilengkapi dengan mendapatkan polinomial pelengkap dari baris sebelumnya (baris terakhir sebelum semua kolomnya berharga 0) yang kemudian diturunkan (didiferensialkan) dan kemudian koefisiennya dipergunakan untuk melengkapi baris. Nol polinomial pelengkap merupakan akar-akar nyata persamaan karakteristik.

contoh :

1 + G(s)H(s) = s + 10s + 16s + 160 = 0

 

baris yang dihasilkan :

Gunakanlah koefisien baris kedua sebagai polinomial pelengkap

F(s) = 10s + 160 = 0

Untuk melengkapi baris F(s) diturunkan terhadap s sehingga didapatkan koefisien dan disisipkan ke dalam baris, sehingga didapat

20

 

20

 

Tidak ada akar pada bidang s sebelah kanan karena tidak ada perubahan tanda pada kolom paling kiri, sehingga sistem merupakan sistem yang stabil. Namun demikian, terdapat sepasang akar konjugate pada sumbu imajiner yaitu pada s1= j4 dan s2= -j4. Nilai tersebut didapat dari baris kedua tabulasi, yaitu:

F(s) = 10s2 + 160 = 0

 

soal :

Tentukan harga K agar sistem dalam Gambar 7.3 stabil.

 

      Gambar 7.3 Sistem Loop Tertutup dengan Penguatan K.

 

Fungsi alih loop tertutupnya adalah

Persamaan karakteristiknya adalah

s(s+s+1)(s+2) + K = s + 3s + 3s + 2s + K = 0

Tabulasinya :

Agar sistem stabil, semua elemen pada kolom pertama harus positif yaitu

sehingga agar sistem stabil, maka nilai K adalah 14/9 > K > 0

7.3 Sensitivitas/Kepekaan

            Proses apapun yang diwakili oleh suatu fungsi alih bersifat peka terhadap perubahan lingkungannya, usia, diabaikannya nilai yang pasti untuk parameter-parameter sistem, dan faktor-faktor alamiah lainnya yang mempengaruhi proses sistem kendali.

            Pada sistem terbuka, seluruh kesalahan dan adanya perubahan nilai akan mengakibatkan perubahan dan ketidaktelitiannya pada keluaran. Pada sistem loop tertutup akan peka terhadap perubahan keluaran yang disebabkan oleh perubahan pada prosesnya dan mencoba memperbaiki keluarannya.

            Kepekaan sistem kendali terhadap berubahnya parameter merupakan suatu sifat yang penting. Keuntungan utama penggunaan sistem loop tertutup terletak pada kemampuannya untuk mengurangi kepekaan sistem.

Sensitivitas/kepekaan adalah merupakan ukuran ketergantungan karakteristik sistem pada unsur-unsur khusus. Misalnya sensitivitas fungsi alih sistem loop tertutup T terhadap K adalah sebagai berikut

dimana:

 

Sensitivitas merupakan fungsi frekuensi dan sebuah sistem yang ideal mempunyai sensitivitas nol untuk segala parameter.

            Dalam Gambar 7.4 diberikan contoh kepekaan fungsi alih terhadap perubahan parameter dalam sistem. Sistem tersebut mempunyai fungsi alih

 

Gambar 7.4 Contoh Kepekaan Fungsi Alih Terhadap Perubahan Parameter Sistem

 

Kepekaan fungsi alih terhadap perubahan parameter-parameter tersebut adalah

a)          Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter K1 adalah sebagai berikut

     

pada keadaan ini seluruh kesalahan dan adanya perubahan nilai pada K1 akan mengakibatkan perubahan dan ketidaktelitiannya pada keluaran sistem.

 

b)         Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter K2 adalah sebagai berikut

Untuk   

Pada keadaan ini mungkin akan menimbulkan keluaran yang berubah-ubah dengan cepat (berosilasi), dan bahkan tak stabil.

 

c)          Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter G adalah sebagai berikut

Pada keadaan ini dengan bertambahnya nilai G, maka pengaruh G terhadap keluaran akan berkurang

Pada sistem tersebut jika nilai          

K1 = 10 V/rad

      K2 = 10 V/rad

,

maka

 

 

Soal:

Dalam Gambar 4.5, tentukan kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter G1, G2, H, dan K3 pada = 1 rad/dtk. Jika diketahui

Gambar 4.5 Soal kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter dalam sistem.

 

H   = 4s

K1  = K2 = 10 V/rad

K3  = 3 V/rad

G1  =

G2  =

Penyelesaian:

 

7.4 Ketelitian (accuracy)

Ketelitian berhubungan dengan error steady state/kesalahan keadaan mantap. Kesalahan keadaan mantap merupakan selisih nilai keluaran terhadap masukan sistem pada saat sistem dalam keadaan mantap. Sifat fisik sistem kendali adalah selalu mengalami kesalahan keadaan mantap dalam merespon suatu jenis masukan tertentu. Sistem mungkin tidak mempunyai kesalahan keadaan mantap untuk masukan step, tetapi sistem yang sama dapat menunjukkan adanya kesalahan keadaan mantap untuk masukan ramp. Untuk menghilangkan kesalahan keadaan mantap adalah dengan mengubah struktur sistem. Suatu sistem akan menunjukkan kesalahan keadaan mantap atau tidak tergantung pada jenis fungsi alih loop terbuka sistem.

Dalam sistem kendali dikenal istilah tipe sistem yang didapat dari fungsi alih loop terbuka G(s)H(s), dimana bentuk umum G(s)H(s) adalah sebagai berikut

      Persamaan di atas meliputi suku sN pada penyebut, menyatakan pengalian kutub dengan N. Suatu sistem dikatakan tipe 0, tipe 1, tipe 2, jika N = 0, N = 1, N = 2,...Tipe sistem ini berbeda dengan orde sistem.

Apabila G(s)H(s) ditulis sedemikian rupa sehingga masing-masing suku dalam dalam penyebut kecuali susku sN, mendekati satu bila s mendekati nol, maka penguatan loop terbuka secara langsung berhubungan dengan kesalahan keadaan mantap.

Pada sistem loop tertutup dalam Gambar 4.6 nilai fungsi alih loop tertutupnya adalah

 

Gambar 7.6 Sistem Loop Tertutup.

 

 

      Koefisien kesalahan stabil menggambarkan keunggulan sistem kontrol. Semakin besar koefisien yang diberikan semakin kecil kesalahan keadaan mantapnya. Pada sistem yang diberikan, keluaran mungkin berupa posisi, kecepatan, tekanan, suhu dan lain-lain. Oleh karena itu, selanjutnya kita sebut keluaran sebagai “posisi”, laju perubahan keluaran “kecepatan” dan sebagainya. Hal ini berarti bahwa dalam sistem kontrol suhu “posisi” menyatakan suhu keluaran, “kecepatan” menyatakan laju perubahan suhu keluaran, dan sebagainya.

 

Koefisien kesalahan posisi Kp

            Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit step/tangga satuan adalah sebagai berikut:

Pada masukan unit step         r(t)           = 1

                                       R(s)         =

Koefisien kesalahan posisi Kp

Jadi, sinyal pembangkit kesalahan keadaan mantap dalam koefisien kesalahan posisi adalah

 

Untuk sistem tipe 0,      

 

 

 

Untuk sistem tipe ≥ 1

     

      Oleh karena itu, sistem tipe 0, koefisien kesalahan posisi Kp terhingga, sedangkan untuk sistem tipe 1 atau lebih besar koefisien kesalahan posisi Kp tidak terhingga.

Jika masukan sistem berupa unit step, pembangkit kesalahan keadaan mantap ess  dapat disimpulkan sebagai berikut:

                         untuk sistem tipe 0

                                untuk sistem tipe ≥ 1

            Sehingga dapat disimpulkan apabila diinginkan kesalahan keadaan mantap untuk masukan step/langkah sama dengan nol, maka tipe sistem harus satu atau lebih besar.

 

Koefisien kesalahan kecepatan Kv

            Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit ramp adalah adalah sebagai berikut:

Pada masukan unit ramp       r(t)           = t

                                       R(s)         =

koefisien kesalahan kecepatan Kv didefinisikan sebagai

maka pembangkit kesalahan keadaan mantap dalam koefisien kesalahan kecepatan diberikan oleh

 

Kesalahan kecepatan digunakan untuk menyatakan kesalahan keadaan mantap untuk masukan berupa unit ramp. Dimensi kesalahan kecepatan sama dengan kesalahan sistem. Oleh karena itu, kesalahan kecepatan bukanlah kesalahan pada kecepatan, akan tetapi merupakan kesalahan pada posisi yang disebabkan oleh masukan ramp.

Untuk sistem tipe 0,

Untuk sistem tipe 1,

Untuk sistem tipe ≥2

 

Sehingga pembangkit kesalahan keadaan mantap ess untuk masukan unit ramp adalah

               untuk sistem tipe 0

              untuk sistem tipe 1

               untuk sistem tipe ≥ 2

 

            Dari analisis di atas menunjukkan bahwa sistem tipe 1 dengan umpan balik satuan dapat mengikuti masukan ramp dengan kesalahan tertentu. Sistem dengan tipe 2 atau lebih besar dapat mengikuti masukan ramp dengan pembangkit kesalahan nol pada keadaan mantap.

 

Koefisien kesalahan percepatan Ka

            Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit parabolik adalah adalah sebagai berikut:

Pada masukan unit parabolik r(t)           =

                                       r(t)           =

                                       R(s)         =

 

koefisien kesalahan keadaan mantap didefinisikan oleh persamaan

sehingga pembangkit kesalahan keadaaan mantap ess unit parabolik adalah

 

Kesalahan percepatan yaitu kesalahan keadaan mantap pada masukan parabolik yang merupakan kesalahan posisi.

Untuk sistem tipe 0,

Untuk sistem tipe 1,

 

Untuk sistem tipe 2,

Untuk sistem tipe ≥ 3,

 

Sehingga pada masukan yang berupa unit parabolik, pembangkit kesalahannya adalah sebagai berikut:

untuk sistem tipe 0 dan 1

            untuk sistem tipe 2

untuk sistem tipe ≥ 3

        Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa sistem tipe 2 dengan umpan balik satuan dapat mengikuti masukan parabolik dengan sinyal pembangkit kesalahan tertentu. Sistem tipe 3 atau lebih dengan umpan balik satuan mengikuti masukan parabolik dengan pembangkit kesalahan nol pada keadaan mantap.

7.5 Analisis Tanggapan Peralihan

Dengan menganalisis tanggapan peralihan (respon transien) sistem dapat diketahui beberapa hal, diantaranya adalah mengenai waktu yang diharapkan untuk mencapai keadaan mantap dan nilai kesalahan (error) yang mengikuti sinyal masukan/input.

Selanjutnya yang akan dianalisis adalah mengenai respon sistem untuk masukan unit step, ramp dan sebagainya. Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa syarat awalnya adalah nol. Semua sistem yang mempunyai fungsi alih sama akan menunjukkan respon/keluaran yang sama dalam memberikan respon masukan yang sama.

 

SISTEM ORDE SATU

            Diagram balok sistem orde satu dapat dilihat dalam Gambar 7.7 yang mempunyai fungsi alih sebagai berikut

 

      Gambar 7.7 Sistem Orde Satu.

  

           

 

 

 

Respon Unit Step Pada Sistem Orde Satu

Jika sistem orde satu diberi masukan unit step r(t)= 1, dari Transformasi Laplace fungsi ramp adalah R(s)           = . Keluaran sistem adalah sebagai berikut

C(s)   =   R(s)

 

 

        

c(t)   

c(t)           ( t0 )

 

Persamaan keluaran tersebut menyatakan bahwa keluaran c(t) mula-mula nol kemudian akhirnya menjadi satu (dapat dilihat dalam Gambar 7.8). Salah satu karakteristik penting respon eksponensial c(t) tersebut adalah bahwa pada t = T, maka

T    = time constant / konstanta waktu sistem

      =  harga akhir

Konstanta waktu T yang lebih kecil akan mempercepat respon sistem. Karakteristik penting lainnya pada kurva respon  eksponensial adalah kemiringan garis singgung / gradien pada t = 0 adalah ,  karena

 

 

 

      Gambar 7.8 Respon unit step sistem orde satu.

 

Respon Unit Ramp Pada Sistem Orde Satu

Jika sistem orde satu diberi masukan unit ramp r(t) = t, dari Transformasi Laplace fungsi ramp adalah . Keluaran sistem adalah sebagai berikut

 

Respon unit ramp sistem orde satu tersebut dapat dilihat dalam Gambar 7.9.

 

Sinyal error / kesalahan e(t) adalah

yang merupakan kesalahan keadaan mantap.

 

 

      Gambar 7.9 Respon unit ramp sistem orde satu.

 

Respon Fungsi Impuls            

Jika sistem orde satu diberi masukan fungsi unit impuls,  dari Transformasi Laplace fungsi unit impuls adalah R(s) = 1.

Keluaran sistem adalah sebagai berikut

     

     

yang dapat dilihat dalam Gambar 4.10.

 

      Gambar 7.10 Respon unit impuls sistem orde satu.

 

SISTEM ORDE DUA

            Diagram balok sistem orde dua dapat dilihat dalam Gambar 7.11, sedangkan fungsi alihnya adalah sebagai berikut

 

 

      Gambar 7.11 Sistem Orde Dua.

 

  

           

           

 

 

Akar-akar penyebut fungsi alih atau persamaan karakteristik adalah

      

      

           

      

dimana

      = rasio peredaman sistem (damping ratio)

    = frekuensi natural/alamiah tak teredam

    =  frekuensi natural/alamiah teredam

 

      Kelakuan dinamik sistem orde dua dapat digambarkan dalam suku dua parameter ξ   dan ωn . Jika , maka pole loop tertutup merupakan konjugat kompleks dan berada pada bidang s sebelah kiri. Dalam hal ini, sistem dikatakan dalam peredaman dan tanggapan peralihan berosilasi. Jika   , maka sistem dikatakan teredam kritis. Sistem terlalu teredam berhubungan dengan  . Tanggapan peralihan sistem teredam kritis dan sistem terlalu teredam tidak berosilasi. Jika ξ=0, tanggapan peralihan tidak muncul.

 

      Pada sistem orde dua seperti terlihat dalam Gambar 7.11, berdasarkan respon sistem dengan masukan unit step akan terdapat tiga keadaan yang berbeda yaitu keadaan teredam , teredam kritis , dan sistem terlalu teredam .

1)         Keadaan Kurang Teredam / Underdamped

Dari Tabel Transformasi Laplace didapatkan

 

 

Jika  maka

 

Respon sistem tersebut juga bisa diperoleh dengan menggunakan Transformasi Laplace balik jika C(s) ditulis dalam bentuk berikut:

 

        

 

 

 

 

oleh karena itu, transformasi laplace balik dari persamaan

diperoleh sebagai

 

Sinyal kesalahan / error adalah e(t) = r(t) – c(t), dimana

r(t) = 1

dan

sehingga

 

 

 

 

 

2)         Teredam Kritis / Critically Damped

Dalam hal ini apabila dua pole hampir sama, maka sistem dapat didekati dengan bentuk teredam kritis. Jika input berupa unit step dimana R(s) = 1/s dan C(s) dapat ditulis dengan

                 

 

3)         Terlalu Teredam / Overdamped

Dalam hal ini pole  adalah bilangan nyata / real  negatif yang tidak sama. Jika input berupa unit step dimana R(s) = 1/s dan C(s) dapat ditulis dengan 

dengan      

                 

       Tanggapan c(t) terdiri dari dua suku eksponensial menurun.

 

TANGGAPAN PERALIHAN

            Sistem dengan tenaga tidak dapat memberikan tanggapan seketika dan akan menunjukkan tanggapan peralihan walaupun diberi masukan ataupun gangguan. Karakteristik unjuk kerja sistem kontrol yang diinginkan dicirikan oleh suku tanggapan peralihan terhadap masukan unit step karena hal itu mudah dilakukan dan cukup drastis. Jika tanggapan terhadap masukan unit step diketahui, secara matematis dapat dihitung tanggapan untuk masukan yang lain.

            Tanggapan peralihan sistem kontrol selalu menunjukkan osilasi teredam sebelum mencapai keadaan mantapnya, hal ini juga menunjukkan bahwa sistem tersebut mempunyai rasio peredaman  yang juga berarti bahwa sistem tersebut merupakan sistem yang kurang teredam / underdamped.

Tanggapan peralihan sistem kontrol terhadap masukan unit step umumnya dikelompokkan sebagai berikut (lihat Gambar 7.12):

1)         Delay Time / Waktu Tunda, td

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai setengah harga akhir pada saat lonjakan pertama

2)         Rise Time / Waktu Naik, t

Waktu yang dibutuhkan oleh respons agar bertambah dari 10% menjadi 90% dari nilai akhir

3)         Peak Time / Waktu Puncak, tp

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai puncak pertama lonjakan (maksimum)

4)         Maximum Overshoot / Lonjakan Maksimum, Mp

Merupakan nilai puncak kurva respons diukur dari satu

dengan    c(tp)   = nilai respons pada saat lonjakan maksimum.

               c(∞)   = nilai respons pada saat keadaan mantap.

5)         Settling Time / Waktu Turun, ts

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai harga tertentu dan tetap dalam range nilai akhir (biasanya 5% atau 2%)

 

            Gambar 7.12 Respon Unit Step Sistem Orde Dua.

Rise time (tr):

Maka diperoleh nilai rise time (tr)

dengan nilai β seperti yang didefinisikan dalam Gambar 4.13.

 

      Gambar 7.13 Definisi Sudut β.

 

Dapat dilihat bahwa  terletak diantara  dan π,

jika             maka

Jika              maka

 

 

 

Peak Time / Waktu Puncak (tp):

            Waktu puncak dapat diperoleh dengan menurunkan c(t) terhadap waktu dan menyamakannya dengan nol, atau

Menghilangkan persamaan berikut:

Karena waktu puncak tp berhubungan dengan waktu puncak overshoot / lonjakan pertama, maka nilai waktu puncak tersebut adalah

 

Maximum Overshoot / Overshoot Maksimum (Mp):

Overshoot maksimum terjadi pada waktu puncak atau pada 

Jadi dari persamaan keluaran, Mp diperoleh

Persen overshoot maksimum adalah sebagai berikut

 

 

Setlling Time / Waktu Turun (ts):

            Untuk sistem orde dua dalam redaman, tanggapan peralihan diperoleh dari persamaan respons

           

 

Ada dua kriteria untuk menentukan waktu turun yaitu  kriteria 2% dan 5% :    

Untuk kriteria 2%,

ts = 4T = 

 

Untuk kriteria 5%,

 

ts = 3T =

 

 

 

Contoh soal 1:

Dalam Gambar 4.14 dengan ξ = 0,6 dan ωn = 5 rad/dt. Tentukan waktu naik tr, waktu puncak tp, overshoot maksimum Mp, dan waktu turun ts bila sistem diberi masukan unit step.

 

 

Gambar 7.14 Sistem Orde Dua.

 

Penyelesaian:

Diketahui: ξ = 0,6

    ωn = 5 rad/dt

sehingga

      = 5

      = 4 rad/dt

 

 σ = ξωn

    = 0,6 . 5 = 3

 

 

Waktu naik sistem adalah

 

Waktu puncak sistem adalah

Overshoot Maksimum adalah

Overshoot maksimum (%) = 9,5%

Waktu turun/settling time:

Ada dua kriteria untuk menentukan waktu turun yaitu  kriteria 2% dan 5% :    

Untuk kriteria 2%,

            =  4T = = 1,33 detik

Untuk kriteria 5%,

            =  3T = = 1 detik

 

Contoh soal 2

Pada sistem dalam Gambar 7.15, tentukan nilai penguatan K dan Kh sehingga maksimum overshoot pada tanggapan unit step sebesar  0,2  dan waktu puncak 1 detik. Dengan  nilai K dan Kh tersebut di atas, tentukan waktu  naik dan waktu turun.

 

 

      Gambar 7.15 Sistem Lup tertutup

 

 

Penyelesaian:

Nilai maksimum overshoot 

 

 

 

Waktu puncak diketahui sama dengan 1 detik, sehingga

Karena ξ = 0,456 maka nilai 

           

Karena frekuensi alami  sama dengan  dalam contoh ini,

           

 

dengan menggunakan persamaan

            ,

 

Maka diperoleh nilai  adalah

     

 

Waktu naik :

           

dengan

           

                = arctan

                = arctan

               

               

sehingga

 

           

            detik

 

Waktu turun :

Untuk kriteria 2%,

         =

            detik

 

Untuk kriteria 5%

         =

            detik

 

Rangkuman

Tanggapan peralihan sistem kontrol terhadap masukan unit step umumnya dikelompokkan sebagai berikut:

  1. Delay Time / Waktu Tunda, td

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai setengah harga akhir pada saat lonjakan pertama

  1. Rise Time / Waktu Naik, t

Waktu yang dibutuhkan oleh respons agar bertambah dari 10% menjadi 90% dari nilai akhir

  1. Peak Time / Waktu Puncak, tp

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai puncak pertama lonjakan (maksimum)

  1. Maximum Overshoot / Lonjakan Maksimum, Mp

Merupakan nilai puncak kurva respons diukur dari satu

dengan    c(tp)   = nilai respons pada saat lonjakan maksimum.

               c(∞)   = nilai respons pada saat keadaan mantap.

5.         Settling Time / Waktu Turun, ts

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai harga tertentu dan tetap dalam range nilai akhir (biasanya 5% atau 2%)

 

Daftar Pustaka

1.         Dr. Ir. Erni Yudaningtyas, MT., Pengenalan Konsep Dasar Sistem Pengaturan, Universitas Brawijaya Fakultas Teknik Jurusan Teknik Elektro Malang.

2.         L. Phillips, Charles., Feedback Control Systems, Prentice Hall Inc. Englewood Cliff, New Jersey.

3.         Nagrath, I.J., Gopal, M.,. Systems Modelling and Analysis. Tata McGraw Hill.